連続体仮説

の話。今回はね。
そもそもしってる？
集合論の話題なんだけど、数学基礎論という分野の話でもある。数学の基礎ということじゃないよ。数学の土台を研究する分野。ちょっかん直観主義の数学なんかもこの分野。
ゲーデルの不完全性定理なんかもこの分野の理論。
まず最初に、集合の濃度について。集合に含まれる要素の個数という概念がる。有限集合の場合の濃度とは、その集合に含まれる要素の個数のこと。もし、無限集合の場合、というか、そもそも数学とは、無限集合を研究する学問であるとも言える。ダカラ、個数という概念を拡張して、濃度というわけ。死産数全体の集合と、実数全体の集合では、その濃度は違うだろうか。結論を言えば、実数の濃度のほうが大きい。
自然数の濃度と実数の濃度の間に第３の濃度は存在するのか、というのが、連続体仮設の問題。だったと思うけど、長くかかわっていないので間違いがあったらごめん。
仮説自体は、第３の濃度は、存在しないというもので、カントールによって提唱されたと思う。ゲーデルなんかは、この仮説が直感的にわかるらしい。ついでに、自然数の濃度をアレフ0、実数の濃度をアレフ1といったと思うけど。